Question

【題目】已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)在軸上，中心在原點(diǎn).若橢圓短軸的上頂點(diǎn)到直線的距離為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若橢圓的下頂點(diǎn)為，設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的頂點(diǎn)坐標(biāo)及焦點(diǎn)位置，可得；由上頂點(diǎn)到直線的距離，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式可求得，即可得橢圓的方程；

（2）設(shè)，，弦的中點(diǎn)，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，根據(jù)兩個(gè)不同交點(diǎn)可知，得；由中點(diǎn)坐標(biāo)公式及韋達(dá)定理表示出的坐標(biāo)，由題意可知，進(jìn)而由兩條直線垂直時(shí)的斜率關(guān)系得，即，由上述三式即可確定的取值范圍.

（1）依題意可設(shè)橢圓方程為，則橢圓上頂點(diǎn).

由題設(shè)，解得，

因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上，所以舍去.

∴所求橢圓的方程為.

（2）設(shè)，，弦的中點(diǎn).

由，得.

∵直線與橢圓相交，

∴.①

∴，從而.

由（1）得，

∴.

又∵，

∴，

則，即.②

把②代入①，得，解得；

由②，得，解得.

綜上求得的取值范圍是.