Question

【題目】如圖,已知橢圓的離心率為,分別是橢圓的左右焦點(diǎn),點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn),且.

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(Ⅱ)在直線上是否存在點(diǎn)Q,使以為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O,若存在,求出線段的長(zhǎng)的最小值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) . (Ⅱ)存在,最小值是

【解析】

(Ⅰ) 根據(jù)橢圓的定義可得，，又離心率，可以解出，再根據(jù)求出，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(Ⅱ) 假設(shè)在直線上存在點(diǎn)，則，即，根據(jù)點(diǎn)如可求出點(diǎn)坐標(biāo)，即說(shuō)明存在；根據(jù)距離公式可求出，結(jié)合點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)可得，消去，由基本不等式即可求出的最小值，并求得點(diǎn)坐標(biāo)．

(Ⅰ)設(shè)，，，則．

∵點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，且．

∴．∴．∴．

∵，∴．

∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

(Ⅱ)假設(shè)在直線上存在點(diǎn)Q，使以為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，

則．∴．

設(shè)，，則．

∴．

當(dāng)時(shí)，以為直徑的圓不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O．

當(dāng)時(shí)，．

∴

∵點(diǎn)在橢圓上，∴．∴．

∴．

，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，

所以，的最小值是．

所以，在直線上存在點(diǎn)，使以為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，且線段PQ的長(zhǎng)的最小值是．