Question

【題目】已知函數(shù)的定義域為，且對任意實數(shù)恒有（且）成立.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）討論在上的單調(diào)性，并用定義加以證明.

Answer 1

【答案】（1）（2）當時， 在上為單調(diào)減函數(shù)；當時， 在上為單調(diào)增函數(shù).

【解析】試題分析：（1） ①，用替換①式中的有： ②，由①②消去即可得結果；（2）討論兩種情況，分別利用復合函數(shù)的單調(diào)性判斷其單調(diào)性，再利用定義意且，判定的符合，即可證明結論.

試題解析：（1）∵對任意實數(shù)恒有： ①，

用替換①式中的有： ②，

①×②—②得： ，

（2）當時，函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)，函數(shù)也為單調(diào)減函數(shù)，

∴在上為單調(diào)減函數(shù).

當時，函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)，函數(shù)也為單調(diào)增函數(shù)，

∴在上為單調(diào)增函數(shù).

證明：設任意且，則

，∵， ，

①當時，則，∴

∴在上是減函數(shù).

②當時，則，∴

∴在上是增函數(shù).

綜上：當時， 在上為單調(diào)減函數(shù)；

當時， 在上為單調(diào)增函數(shù).