Question

6．已知F₁、F₂分別是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)且$\frac{{|P{F_1}{|^2}}}{{|P{F_2}|}}=8a$，則雙曲線離心率的取值范圍是（　�。�

• A． （1，2]
• B． [2+∞）
• C． （1，3]
• D． [3，+∞）

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}}{|P{F}_{2}|}$=$\frac{（2a+|P{F}_{2}|）^{2}}{|P{F}_{2}|}$=$\frac{4{a}^{2}}{|P{F}_{2}|}$+4a+|PF₂|，利用基本不等式，再利用焦半徑公式，即可求出雙曲線離心率的取值范圍．

解答 解：由定義知：|PF₁|-|PF₂|=2a，所以|PF₁|=2a+|PF₂|，
所以$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}}{|P{F}_{2}|}$=$\frac{（2a+|P{F}_{2}|）^{2}}{|P{F}_{2}|}$=$\frac{4{a}^{2}}{|P{F}_{2}|}$+4a+|PF₂|≥8a，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{4{a}^{2}}{|P{F}_{2}|}$=|PF₂|，即|PF₂|=2a時(shí)取得等號(hào)
設(shè)P（x₀，y₀） （x₀≤-a）
由焦半徑公式得：|PF₂|=-ex₀-a=2a
所以ex₀=-3a
所以e=-$\frac{3a}{{x}_{0}}$≤3
又雙曲線的離心率e＞1
所以e∈（1，3]
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線離心率的取值范圍，考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．