Question

6．設(shè)空間四邊形ABCD，E，F(xiàn)，G，H分別是AC，BC，DB，DA的中點(diǎn)，若AB=12$\sqrt{2}$，CD=4$\sqrt{2}$，且四邊形EFGH的面積為12$\sqrt{3}$，求AB和CD所成的角．

Answer 1

分析 找出異面直線所成角，通過四邊形的面積求解即可．

解答 解：空間四邊形ABCD，E，F(xiàn)，G，H分別是AC，BC，DB，DA的中點(diǎn)，則四邊形EFGH是平行四邊形，
AB和CD所成的角就是∠EFG或其補(bǔ)角．
AB=12$\sqrt{2}$，CD=4$\sqrt{2}$，則EF=$6\sqrt{2}$，F(xiàn)G=2$\sqrt{2}$，
四邊形EFGH的面積為12$\sqrt{3}$，
可得EF•FGsin∠EFG=12$\sqrt{3}$，可得sin∠EFG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
則∠EFG=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$．
AB和CD所成的角為：$\frac{π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的求法，平行四邊形的面積的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．