Question

如圖，長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)是的中點(diǎn).

(1)求三棱錐的體積；

(2)證明：;

(3)求二面角的正切值.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）證明過(guò)程詳見(jiàn)解析；（3）.

【解析】

試題分析：本題主要考查空間兩條直線的位置關(guān)系、二面角、錐體體積等基礎(chǔ)知識(shí).考查用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的方法.考查空間想象能力、運(yùn)算能力、推理論證能力.第一問(wèn)，求錐體體積，關(guān)鍵是找到錐體的高和底面面積；第二問(wèn)，先利用直線與平面的判定定理證出面，所以面內(nèi)的線段；第三問(wèn)，先利用直線與平面的判定定理證出面,所以面內(nèi)的線段，所以就找到了二面角的平面角，在直角三角形中求正切.

試題解析：(1)由長(zhǎng)方體性質(zhì)可得，面，所以是三棱錐的高，

又點(diǎn)是的中點(diǎn)，, 所以,,　

                    2分

三棱錐的體積  4分

（2）

連結(jié),　因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2013121909084656073167/SYS201312190910245138430924_DA.files/image023.png">是正方形，所以

又面面，

所以          ６分

又　所以，面

面,　所以，        ８分

(3)　因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2013121909084656073167/SYS201312190910245138430924_DA.files/image010.png">面,面,所以,　

由（１）可知，,　

所以，面,　                  10分

面,　面

,　　

是二面角的平面角　

直角三角形中，　

二面角的正切值為      13分

解法（二）

如圖，以為原點(diǎn)，為軸建立空間坐標(biāo)系

因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，且

則

                  ６分

=

所以，                       ８分

（3）設(shè)是平面的法向量，則,

,得方程組　　令得

所以，　                      10分

又,設(shè)與夾角為

則　

二面角的正切值為.               13分

考點(diǎn)：1.勾股定理；2.三棱錐的體積；3.直線與平面的判定定理；4.向量法.