Question

【題目】2020年席卷全球的新冠肺炎給世界人民帶來了巨大的災(zāi)難，面對(duì)新冠肺炎，早發(fā)現(xiàn)、早診斷、早隔離、早治療是有效防控疾病蔓延的重要舉措之一.某社區(qū)對(duì)位居民是否患有新冠肺炎疾病進(jìn)行篩查，先到社區(qū)醫(yī)務(wù)室進(jìn)行口拭子核酸檢測(cè)，檢測(cè)結(jié)果成陽(yáng)性者，再到醫(yī)院做進(jìn)一步檢查，己知隨機(jī)一人其口拭子核酸檢測(cè)結(jié)果成陽(yáng)性的概率為%，且每個(gè)人的口拭子核酸是否呈陽(yáng)性相互獨(dú)立.

（1）假設(shè)該疾病患病的概率是%，且患病者口拭子核酸呈陽(yáng)性的概率為%，設(shè)這位居民中有一位的口拭子核酸檢測(cè)呈陽(yáng)性，求該居民可以確診為新冠肺炎患者的概率；

（2）根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，口拭子核酸檢測(cè)采用分組檢測(cè)法可有效減少工作量，具體操作如下：將位居民分成若干組，先取每組居民的口拭子核酸混在一起進(jìn)行檢測(cè)，若結(jié)果顯示陰性，則可斷定本組居民沒有患病，不必再檢測(cè)；若結(jié)果顯示陽(yáng)性，則說明本組中至少有一位居民患病，需再逐個(gè)進(jìn)行檢測(cè)，現(xiàn)有兩個(gè)分組方案：

方案一：將位居民分成組，每組人；

方案二：將位居民分成組，每組人；

試分析哪一個(gè)方案的工作量更少？

（參考數(shù)據(jù)：，）

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）設(shè)事件為 “核酸檢測(cè)呈陽(yáng)性”，事件為“患疾病”，利用條件概率公式求解即可；

（2）設(shè)方案一和方案二中每組的檢測(cè)次數(shù)為，，分別求出兩種方案檢測(cè)次數(shù)的分布列，進(jìn)而得出期望，通過比較期望的大小即可得出結(jié)論.

（1）設(shè)事件為 “核酸檢測(cè)呈陽(yáng)性”，事件為“患疾病”

由題意可得，

由條件概率公式得：

即

故該居民可以確診為新冠肺炎患者的概率為

（2）設(shè)方案一中每組的檢測(cè)次數(shù)為，則的取值為

所以的分布列為

所以

即方案一檢測(cè)的總次數(shù)的期望為

設(shè)方案二中每組的檢測(cè)次數(shù)為，則的取值為

；

所以的分布列為

所以

即方案二檢測(cè)的總次數(shù)的期望為

由，則方案二的工作量更少