Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{3x+1}$，數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．
（1）證明數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）記S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，求證${S_n}＜\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （1）由已知得$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}=3$，由此能證明數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首項為1，公差3的等差數(shù)列，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）由${a}_{n}{a}_{n+1}=\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）$，利用裂項求和法能證明${S_n}＜\frac{1}{3}$．

解答 證明：（1）∵函數(shù)f（x）=$\frac{x}{3x+1}$，數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*），
∴由已知得${a}_{n+1}=\frac{{a}_{n}}{3{a}_{n}+1}$，即$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}=3$，（2分）
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首項為1，公差3的等差數(shù)列．（4分）
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+3（n-1）=3n-2，即${a}_{n}=\frac{1}{3n-2}$，n∈N^*．（6分）
（2）∵${a}_{n}{a}_{n+1}=\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）$．（8分）
S_n=$\frac{1}{1×4}+\frac{1}{4×7}+…+\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$
=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}-\frac{1}{7}+…+\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}$）=$\frac{1}{3}（1-\frac{1}{3n+1}）$=$\frac{n}{3n+1}$，（11分）
${S_n}=\frac{n}{3n+1}＜\frac{1}{3}$，
∴${S_n}＜\frac{1}{3}$．（12分）

點評 本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和小于$\frac{1}{3}$的證明，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意裂項求和法的合理運(yùn)用．