Question

1．設 命題p：橢圓$\frac{x^2}{a^2}+{y^2}=1$，（a＞0）的焦點在x軸上；
命題q：a＞0時，不等式ax²-ax+1＞0對?x∈R恒成立．
若“p∧q”為假，“p∨q”為真，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 分別求出p，q為真時的a的范圍，再根據復合命題的真假求出a的范圍即可．

解答 解：橢圓$\frac{x^2}{a^2}+{y^2}=1$的焦點在x軸上，
∴p：a＞1．…（2分）
不等式ax²-ax+1＞0對?x∈R恒成立，且a＞0，
∴a²-4a＜0，解得0＜a＜4，∴q：0＜a＜4．…（5分）
∵“p∧q”為假，“p∨q”為真，∴p，q中必有一真一假．
①當p真，q假時，{a|a＞1}∩{a|a≥4}={a|a≥4}．          …（8分）
②當p假，q真時，{a|0＜a≤1}∩{a|0＜a＜4}={a|0＜a≤1}． …（11分）
故a的取值范圍是{a|0＜a≤1，或a≥4}．                 …（12分）

點評 本題考查命題和復合命題真假的判斷、考察橢圓以及二次函數恒成立等知識，屬基本題型的考查．