Question

6．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n．
（Ⅰ）若數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，則滿足a₅=0，S₁=2S₂+8，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若2S_n=3a_n-1，證明數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，并求其前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d；從而可得a₅=a₁+4d=0，a₁=2（2a₁+d）+8，從而解得；
（Ⅱ）分類討論，從而化簡(jiǎn)可得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=3，從而證明并求和．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d；
則a₅=a₁+4d=0，a₁=2（2a₁+d）+8，
解得，a₁=-$\frac{16}{5}$，d=$\frac{4}{5}$；
故a_n=-$\frac{16}{5}$+（n-1）$\frac{4}{5}$=$\frac{4}{5}$n-4；
（Ⅱ）證明：∵2S_n=3a_n-1，
①當(dāng)n=1時(shí)，2S₁=3a₁-1，
解得，a₁=1，
②當(dāng)n≥2時(shí)，2S_n=3a_n-1，2S_n-1=3a_n-1-1，
故2a_n=3a_n-3a_n-1，
故$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=3，
故數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，
故S_n=$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$=$\frac{1}{2}$（3ⁿ-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的應(yīng)用及分類討論的思想應(yīng)用，同時(shí)考查了方程思想的應(yīng)用．