Question

10．定義在（0，+∞）上的單調(diào)遞減函數(shù)f（x），若f（x）的導(dǎo)函數(shù)存在且滿足$\frac{f（x）}{f'（x）}＞-x$，則下列不等式成立的是（　　）

• A． 3f（2）＜2f（3）
• B． 3f（3）＞4f（4）
• C． 3f（4）＜4f（3）
• D． f（2）＜2f（1）

Answer 1

分析 由題意構(gòu)造g（x）=xf（x），求出g′（x），化簡已知的式子后，結(jié)合題意判斷出g′（x）的符號，可得g（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，由函數(shù)的單調(diào)性可得答案．

解答 解：設(shè)g（x）=xf（x），則g′（x）=f（x）+xf′（x），
因為定義在（0，+∞）上的單調(diào)遞減函數(shù)f（x），
所以x∈（0，+∞）時，f′（x）＜0，
由$\frac{f（x）}{f′（x）}＞-x$得$\frac{f（x）}{f′（x）}+x＞0$，則$\frac{xf′（x）+f（x）}{f′（x）}＞0$，
則當(dāng)∈（0，+∞）時，f（x）+xf′（x）＜0，即g′（x）＜0，
所以函數(shù)g（x）在（0，+∞）上遞減，
則g（3）＞g（4），即3f（3）＞4f（4），
故選：B．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，以及構(gòu)造函數(shù)法，屬于中檔題．