Question

【題目】已知函數(shù)， ， .

（1）設(shè)函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)，求實數(shù)的取值范圍；

（2）求證： .

Answer 1

【答案】（1）的取值范圍為 （2）證明見解析

【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，求出m的范圍即可；（2）設(shè)g(x)=f2(x)-f3(x)-2f1′(x)=ex-lnx-2，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，求出g（x）的最小值，從而證出結(jié)論．

試題解析:（1）由題意得，所以，因為，

所以

若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在上恒成立，即在上恒成立，所以

若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則在上恒成立，

即在上恒成立，所以

綜上，實數(shù)的取值范圍為.

（2）設(shè)

則，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，

由， 得，存在唯一的使得，

所以在上有，在上有

所以在上單調(diào)遞減，在遞增.

所以，故， .