Question

14．已知{a_n}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，a₁₁=8，設(shè)b_n=log₂a_n，且b₄=17．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{b_n}是以-2為公差的等差數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求S_n的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等比數(shù)列以及對數(shù)的運(yùn)算法則，轉(zhuǎn)化證明數(shù)列{b_n}是以-2為公差的等差數(shù)列；
（Ⅱ）求出數(shù)列的和，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最大值即可．

解答 （本小題共13分）
解：（Ⅰ）證明：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
則b_n+1-b_n=log₂a_n+1-log₂a_n=$lo{g_2}\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}$=log₂q，
因此數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列．
又b₁₁=log₂a₁₁=3，b₄=17，
又等差數(shù)列{b_n}的公差$d=\frac{{{b_{11}}-{b_4}}}{7}=-2$，
即b_n=25-2n．即數(shù)列{b_n}是以-2為公差的等差數(shù)列．…（6分）
（Ⅱ）設(shè)等差數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，
則${S_n}=\frac{{（{b_1}+{b_n}）}}{2}$n=$\frac{（23+25-2n）n}{2}$=（24-n）n=-（n-12）²+144，
于是當(dāng)n=12時，S_n有最大值，最大值為144．…（13分）

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列求和，等差數(shù)列的證明，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．