Question

（本小題滿分14分）已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是邊長為2的菱形, AC∩BD=O, AA1=2, BD⊥A1A, ∠BAD=∠A1AC=60°, 點M是棱AA1的中點.

（1）求證: A1C∥平面BMD;

（2）求證: A1O⊥平面ABCD;

（3）求直線BM與平面BC1D所成角的正弦值.

 

Answer 1

（1）（2）證明詳見試題分析（3）

【解析】

試題分析：（1）連結MO，由已知條件推導出MO//A1C,由此能證明

（2）由已知條件推導出BD⊥面A1AC，，由此能證明

（3）通過作輔助線確定直線與平面所成的角，然后求出其正弦值

試題解析：（1）證明：連結，∵，∴MO∥，

∵MO平面BMD，平面BMD

∴A1C∥平面BMD.

（2）證明：∵，，∴BD⊥平面

于是，，

∵AB=CD=2,∠BAD=60°，∴AO=AC=，

又∵，∴，

又∵，∴⊥平面ABCD.

（3）【解析】
如圖，以O為原點，以OA為軸，OB為軸，為軸建立空間直角坐標系，由題意知，，，，∵，∴

∵，∴，，，

設平面的法向量為，

則，取，得

∴

∴直線BM與平面所成角的正弦值為.

考點：立體幾何的證明與求解