Question

在數列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=1-

1

4an

，b_n=

2

2an-1

，其中n∈N^*．
（1）求證：數列{b_n}是等差數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（2）設c_n=

2an

(n+1)2

，求數列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列,點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（1）首先利用定義通過運算證明數列的相鄰相差值為常數，說明數列為等差數列，然后根據等差數列求出
a_n的通項公式．
（2）根據（1）的結論進一步利用相消法求數列的前n項和．

解答： 解：（1）證明：∵b_n+1-b_n=

2

2an+1-1

-

2

2an-1

=

2

2(1- 1 4an )-1

-

2

2an-1

=2（n∈N^*）
∴數列{b_n}是等差數列．
∵a₁=1，∴b₁=

2

2a1-1

=2，∴b_n=2+（n-1）•2=2n．
由b_n=

2

2an-1

，得2a_n-1=

2

bn

=

1

n

（n∈N^*），∴a_n=

n+1

2n

．
（2）由（1）知a_n=

n+1

2n

，得c_n=

2an

(n+1)2

=

1

n(n+1)

，從而c_n=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
S_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

點評：本題考查的知識點：利用定義法證明數列為等差數列，相消法在數列求和中的應用及相關的運算問題．