Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

（Ⅰ）討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，證明:；

（Ⅲ）求證:對任意正整數(shù)，都有 (其中為自然對數(shù)的底數(shù)).

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析（Ⅲ）見解析

【解析】

（Ⅰ）先求，再對 進(jìn)行討論即可.

（Ⅱ）由題知即證，構(gòu)造新函數(shù)設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)只需即得證.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知,累加作和即得證.

（Ⅰ）易得，函數(shù) ，

①當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增

②當(dāng)時(shí)，令，解得 ．

當(dāng)時(shí)，，所以，

所以在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，所以，

所以在上單調(diào)遞增．

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

（Ⅱ）當(dāng) 時(shí)，.

要證明，

即證，即. 即.

設(shè)則

令得，.

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，.

所以為極大值點(diǎn)，也為最大值點(diǎn)

所以.

即.

故.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，.

令，

則 ，

所以

,

即

所以.