Question

2．（1）已知角α終邊經過點P（-5a，12a）（a≠0），求sinα，cosα，tanα的值；
（2）設$α=-\frac{35}{6}π$，化簡$\frac{2sin（π+α）cos（π-α）-cos（π+α）}{{1+{{sin}^2}α+sin（π-α）-{{cos}^2}（π+α）}}$．

Answer 1

分析 （1）先根據點P（-5a，12a）求出OP的長；再分a＞0，a＜0兩種情況結合任意角的三角函數的定義即可求出結論．
（2）由已知可求sinα，cosα的值，利用誘導公式化簡所求后代入即可求值．

解答 解：（1）∵x=-5a，y=12a，r=|OP|=$\sqrt{（-5a）^{2}+（12a）^{2}}$=13|a|
①當a＞0時，r=13a，sinα=$\frac{y}{r}$=$\frac{12}{13}$，cosα=$\frac{x}{r}$=-$\frac{5}{13}$，tanα=$\frac{y}{x}$=-$\frac{12}{5}$；
②當a＜0時，r=-13a，sinα=$\frac{y}{r}$=-$\frac{12}{13}$，cosα=$\frac{x}{r}$=$\frac{5}{13}$，tanα=$\frac{y}{x}$=-$\frac{12}{5}$．
（2）∵$α=-\frac{35}{6}π$，
∴sinα=sin（$-\frac{35π}{6}$）=-sin（6π$-\frac{π}{6}$）=sin$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{2}$，cosα=cos（$-\frac{35π}{6}$）=cos（6π$-\frac{π}{6}$）=cos$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{2sin（π+α）cos（π-α）-cos（π+α）}{{1+{{sin}^2}α+sin（π-α）-{{cos}^2}（π+α）}}$=$\frac{2（-sinα）（-cosα）+cosα}{1+si{n}^{2}α+sinα-co{s}^{2}α}$=$\frac{2sinαcosα+cosα}{2si{n}^{2}α+sinα}$=$\frac{2×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}}{2×（\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{2}}$=$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了誘導公式及任意角的三角函數的定義，知道角的終邊上一點的坐標情況下的任意角的三角函數的定義：設α是一個任意角，點P（x，y）是角α終邊上任意一點，點P與原點O的距離為r=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$＞0，結合相似三角形的知識可得，sinα=$\frac{y}{r}$，cosα=$\frac{x}{r}$，tanα=$\frac{y}{x}$（x≠0），屬于基礎題．