Question

18．已知函數f（x）=f′（1）x²+2x${∫}_{0}^{1}$f（x）dx+1在區(qū)間（a，1-2a）上單調遞增，則實數a的取值范圍是（　�。�

• A． （$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$）
• B． [$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$）
• C． （-∞，$\frac{1}{3}$）
• D． [$\frac{1}{4}$，+∞）

Answer 1

分析 先設${∫}_{0}^{1}$f（x）dx=c，再求導得到f（x）=f′（1）x²+2cx+1，令x-1，得到f′（1）=-2c，繼而得到f（x），再根據定積分的計算，求出c的值，繼而求出f（x）=-3x²+3x+1，根據二次函數的性質即可求出a的取值范圍．

解答 解：設${∫}_{0}^{1}$f（x）dx=c，
∴f（x）=f′（1）x²+2cx+1，
∴f′（x）=f′（1）2x+2c，
∴f′（1）=2f′（1）+2c，
∴f′（1）=-2c，
∴f（x）=-2cx²+2cx+1，
∴${∫}_{0}^{1}$f（x）dx=${∫}_{0}^{1}$（-2cx²+2cx+1）dx=（-$\frac{2}{3}$cx³+cx²+x）|${\;}_{0}^{1}$=-$\frac{2}{3}$c+c+1=c，
解得c=$\frac{3}{2}$，
∴f′（1）=-2c=-3，
∴f（x）=-3x²+3x+1，
∴函數f（x）的對稱軸為x=$\frac{1}{2}$，且開口向下，
∴f（x）在（-∞，$\frac{1}{2}$）上單調遞增，
∵f（x）在區(qū)間（a，1-2a）上單調遞增，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＜1-2a}\\{1-2a≤\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{4}$≤a＜$\frac{1}{3}$，
故選：B．

點評 本題考查了定積分的計算，二次函數的單調性，關鍵是換元，屬于中檔題．