Question

3．在平面直角坐標系xoy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\sqrt{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），在極坐標系（與直角坐標系xoy取相同的單位長度，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為ρ=2$\sqrt{5}$sinθ．
（1）求圓C的直角坐標方程；
（2）設圓C與直線l交于A，B兩點，若點P坐標為（3，$\sqrt{5}$），求|PA|+|PB|．

Answer 1

分析 （1）利用$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可化為直角坐標系；
（2）直線l的參數(shù)方程化為普通方程代入圓的方程解出交點坐標，再利用兩點之間的距離公式即可得出．

解答 解：（1）圓C的方程為ρ=2$\sqrt{5}$sinθ，即${ρ}^{2}=2\sqrt{5}ρsinθ$，
∴x²+y²=2$\sqrt{5}$y，
∴圓C的直角坐標方程${x}^{2}+（y-\sqrt{5}）^{2}$=5．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\sqrt{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），化為普通方程為：x+y=3+$\sqrt{5}$，
代入上述圓方程消去y得：x²-3x+2=0，解得x₁=1，x₂=2．
∴|PA|+|PB|=$\sqrt{（{x}_{1}-3）^{2}+（{y}_{1}-\sqrt{5}）^{2}}$+$\sqrt{（{x}_{2}-3）^{2}+（{y}_{2}-\sqrt{5}）^{2}}$=$\sqrt{{x}_{1}^{2}+{y}_{1}^{2}-2\sqrt{5}{y}_{1}-6{x}_{1}+14}$+$\sqrt{{x}_{2}^{2}+{y}_{2}^{2}-2\sqrt{5}{y}_{2}-6{x}_{2}+14}$
=$\sqrt{14-6{x}_{1}}$+$\sqrt{14-6{x}_{2}}$=$3\sqrt{2}$．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、參數(shù)方程化為普通方程、直線與圓的交點、兩點之間的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．