Question

【題目】函數(shù)，，已知曲線與在原點(diǎn)處的切線相同．

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）.

【解析】

試題分析：（1）借助條件確定的表達(dá)式，然后求導(dǎo)，解不等式得單調(diào)區(qū)間；（2）構(gòu)建新函數(shù)，借助最值建立關(guān)于的不等關(guān)系.

試題解析：解：（1）∵（），，

依題意，，解得，

∴，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．

（2）令，

由（1）知：，∴，即，

∴．

(i)若，則

∴在上是增函數(shù)，

∴，

∴成立．

(ii)若，由（1）知，則，

由(i)知：，

∴成立．

(iii)若，則，則，

顯然在上單調(diào)遞增，

又，，

∴在上存在唯一零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，

從而，即，

∴在上單調(diào)遞減，

從而當(dāng)時(shí)，，即，不合題意．

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．