Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2+1，g（x）=2alnx+1（a∈R）

（1）求函數(shù)h（x）=f（x）g（x）的極值；

（2）當(dāng)a=e時，是否存在實數(shù)k，m，使得不等式g（x）≤ kx+m ≤f（x）恒成立？若存在，請求實數(shù)k，m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）求導(dǎo)，分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得極值；
（2）當(dāng)時，由，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，由 ，則 時，與有公切線，切線方程，即可求得實數(shù) 的值．

解：（1）h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣2alnx，x＞0

所以 h′（x）=

當(dāng)a≤0，h′（x）＞0，此時h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，無極值。-

當(dāng)a＞0時，由h′（x）＞0，即x2﹣a＞0，解得：a＞或x＜﹣（舍去）

由h′（x）＜0，即x2﹣a＜0，解得：0＜x＜-

∴h（x）在（0，）單調(diào)遞減，在（，+∞）單調(diào)遞增

∴h（x）的極小值為h（）=a﹣2aln=a﹣alna，無極大值；

（2）當(dāng)a=e時，由（1）知

h（）=h（）=e﹣elne=0

∴f（x）﹣g（x）≥0， 也即 f（x）≥g（x），當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號；

以為切點，

f′（）=g′（）

所以y=f（x）與y=g（x）有公切線，切線方程y=2x+1﹣e

構(gòu)造函數(shù) ，顯然

構(gòu)造函數(shù)

由 解得 ，由 解得

所以在上遞減，在上遞增-

，即有

從而 ，此時-