Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）證明：在區(qū)間上單調(diào)遞增；

（2）若存在，使得與在的值域相同，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）求出，可證明，恒成立，故可得為上的增函數(shù).

（2）先討論時(shí)的情形，此時(shí)可把的存在性問題轉(zhuǎn)化為在存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)問題，利用導(dǎo)數(shù)和零點(diǎn)存在定理可得.再討論的情形，利用兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)值的符號(hào)可判定這種情況不成立，兩者結(jié)合可求的取值范圍.

（1）因?yàn)?/span>，故且，

令，故.

當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，

所以，

故，，故為上的增函數(shù).

（2）因?yàn)?/span>，故在為增函數(shù)，

故在上的值域?yàn)?/span>.

當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?/span>，故，

所以在有兩個(gè)不同的解.

令，

故在有兩個(gè)不同的零點(diǎn).

又，

當(dāng)時(shí)，，

故為上的單調(diào)增函數(shù)，

故在最多有一個(gè)解，舍去.

當(dāng)時(shí)，.

取，，

令，則，

故在為增函數(shù)，

故，

故在有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解且.

當(dāng)，，故在為減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，故在為增函數(shù)；

故.

又，所以

因?yàn)?/span>在有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，

故即.

令，其中，

故，故在上為減函數(shù)，

故不等式的解為，

所以.

令及，

因?yàn)?/span>為開口向上的二次函數(shù)，

故存在，使得當(dāng)任意時(shí)，總有，

而，故在上為增函數(shù)，

當(dāng)對(duì)任意的時(shí)，總有 ，

因?yàn)?/span>，故當(dāng)，，

根據(jù)零點(diǎn)存在定理，在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).

因?yàn)?/span>在有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，故，

所以即，

又，故，

所以.

當(dāng)時(shí)，在上始終滿足，

由（1）可知在為增函數(shù)，故，

不符合題設(shè)要求，舍去.

綜上，.