Question

【題目】設(shè)外接圓上三段弧的中點(diǎn)依次為,其關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)依次為.若頂點(diǎn)與對(duì)應(yīng)旁切圓切點(diǎn)的連線交于一點(diǎn) (界心),為的垂心，證明：在以為直徑的圓上.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

記的三邊長(zhǎng)為,,為的內(nèi)心.

先證明一個(gè)引理.

引理 頂點(diǎn)與界心連線平行且等于2倍內(nèi)心與其對(duì)應(yīng)邊中點(diǎn)的連線.

證明:如圖,設(shè)為的內(nèi)心,為的中點(diǎn),為切點(diǎn),為對(duì)應(yīng)角平分線的交點(diǎn),為旁切圓的切點(diǎn),為界心,為與內(nèi)切圓的交點(diǎn).

對(duì)與截線應(yīng)用梅涅勞斯定理得.

將,,,代入上式化簡(jiǎn)得

因?yàn)?/span>為的中點(diǎn),為切點(diǎn),為旁切圓的切點(diǎn),所以,.

由位似變換,知為的中點(diǎn).

故.

回到原題.如圖,延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn).

由引理,知，且所以,為的中點(diǎn).

又點(diǎn)與關(guān)于對(duì)稱,于是.由對(duì)角線互柑平分的性質(zhì),知四邊形為平行四邊形.

因此, .

延長(zhǎng)與外接圓交于點(diǎn),聯(lián)結(jié).

因?yàn)?/span>為垂心,關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在外接圓上,所以,.

于是,.則.

從而,四邊形為平行四邊形.

又為外接圓的直徑,故.易知, .

所以, ,

同理, ,.故本題得證.