Question

12．在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，當n≥2時，${a_n}，{S_n}，{S_n}-\frac{1}{2}$成等比數(shù)列，則a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n-3}，n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 當n≥2時，${a_n}，{S_n}，{S_n}-\frac{1}{2}$成等比數(shù)列，可得${S}_{n}^{2}$=a_n$（{S}_{n}-\frac{1}{2}）$，于是${S}_{n}^{2}$=（S_n-S_n-1）$（{S}_{n}-\frac{1}{2}）$，化為：$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，利用等差數(shù)列的通項公式可得$\frac{1}{{S}_{n}}$，利用當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，即可得出．

解答 解：∵當n≥2時，${a_n}，{S_n}，{S_n}-\frac{1}{2}$成等比數(shù)列，
∴${S}_{n}^{2}$=a_n$（{S}_{n}-\frac{1}{2}）$，
∴${S}_{n}^{2}$=（S_n-S_n-1）$（{S}_{n}-\frac{1}{2}）$，
化為：$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，
∴數(shù)列$\{\frac{1}{{S}_{n}}\}$是等差數(shù)列，首項為1，公差為2．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
∴S_n=$\frac{1}{2n-1}$．n=1也成立．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n-3}$．
∴a_n=$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n-3}$．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n-3}，n≥2}\end{array}\right.$．
故答案為：$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n-3}，n≥2}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了遞推關系的應用、數(shù)列的通項公式與前n項和公式的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．