Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）令，判斷g(x)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)x＞1時(shí)，，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）求出，分兩種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（2）討論的范圍，分別利用導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性判斷函數(shù)是否有最大值，當(dāng)函數(shù)有最大值時(shí)，令其最大值小于零即可求得的范圍.

（1）由，則，

所以（x＞0）．

①當(dāng)a≤0時(shí)，，為的減函數(shù)；

②當(dāng)a＞0時(shí)，

若，即時(shí)，，為的減函數(shù)；

若，即時(shí)，由有兩根得

在上，為減函數(shù)；在上，為增函數(shù)；

在上，為減函數(shù)．

綜上：當(dāng)時(shí)，為的減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，在上，為減函數(shù)；在上，為增函數(shù)；在上，為減函數(shù)．

（2）由（1）知，對(duì)a討論如下，

①當(dāng)a≤0時(shí)，，則為（1，＋∞）上的減函數(shù)，

則，故為（1，＋∞）的減函數(shù)，

由于，所以，即a≤0時(shí)滿足題意．

②當(dāng)a＞0時(shí)，由于，對(duì)其討論如下：

(A)若，即a≤1，則由（1）知，為（1，＋∞）上的減函數(shù)，

則，所以為（1，＋∞）的減函數(shù)，

由于，所以，即0＜a≤1時(shí)滿足題意．

(B)若，即a＞1，則由（1）知，

當(dāng)時(shí)，為（1，＋∞）上的減函數(shù)，又，

所以存在，使得在時(shí)，，于是為的增函數(shù)，

因?yàn)?/span>，

所以，即1＜a≤時(shí)不滿足題意．

當(dāng)時(shí)，由于，所以對(duì)與1的大小關(guān)系討論如下，

1)如果，即，那么由（1）知，為（1，＋∞）上的減函數(shù)，

又，

則存在，使得在時(shí)，，于是為的增函數(shù)，

又，則，即時(shí)不滿足題意．

2)如果，即，那么由（1）知，為（1，）上的增函數(shù)，

則當(dāng)時(shí)，，于是為的增函數(shù)，

又，則，即時(shí)不滿足題意．

綜上所述，a的取值范圍為．