Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為菱形，為上一點(diǎn).

（1）若平面，試說明點(diǎn)的位置并證明的結(jié)論；

（2）若為的中點(diǎn)，平面，且，

求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時有，連接，交于點(diǎn)，連接，由為菱形得是的中點(diǎn)，由三角形的中位線性質(zhì)可得，即可證明；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸和軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面的法向量與平面的法向量，結(jié)合圖形得二面角為銳二面角，即可求得二面角的余弦值.

試題解析：（1）當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時有，證明如下：

連接，交于點(diǎn)，連接.

由菱形性質(zhì)知點(diǎn)是的中點(diǎn).

∴

又∵

∴.

（2）由題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸和軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè) ，則由條件易知，所以，.

∴,

設(shè)平面的法向量為，則.

∴，即，令，則，所以，

同理可求平面的法向量.

所以，.

由圖可知，二面角為銳二面角，故其余弦值為