Question

【題目】已知在四棱錐中，，，是的中點(diǎn)，是等邊三角形，平面平面.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）取的中點(diǎn)為，連結(jié)，，，設(shè)交于，連結(jié).證明，，即可證平面；（2）取的中點(diǎn)為，以為空間坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)?/span>軸、軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，利用向量法求二面角的余弦值.

（1）證明：取的中點(diǎn)為，連結(jié)，，，設(shè)交于，連結(jié).

因?yàn)?/span>，，

四邊形與四邊形均為菱形，

， ，，

因?yàn)?/span>為等邊三角形，為中點(diǎn)，

，

因?yàn)槠矫?/span>平面，且平面平面.

平面且，

平面

因?yàn)?/span>平面，

，

因?yàn)?/span>H，分別為， 的中點(diǎn)，

，

.

又因?yàn)?/span> ，

平面，

平面.

（2）取的中點(diǎn)為，以為空間坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)?/span>軸、軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)，則，，，，

，，

設(shè)平面的一法向量.

由 .令，則.

由（1）可知，平面的一個(gè)法向量，

二面角的平面角的余弦值為.