Question

14．已知f（x）=$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）證明：當(dāng)x＞0時f（x）＞0，當(dāng)x＜0時f（x）＜0．

Answer 1

分析 （1）利用奇函數(shù)的定義即可判斷；
（2）設(shè)x＜0，則-x＞0，利用條件即可證明．

解答 （1）解：函數(shù)的定義域為{x|x≠0}，
∵f（x）=$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-1}$，
∴f（-x）=$\frac{1}{2}$•$\frac{{2}^{-x}+1}{{2}^{-x}-1}$=-f（x），
∴f（x）是奇函數(shù)；
（2）證明：設(shè)x＜0，則-x＞0，
∵當(dāng)x＞0時f（x）＞0，
∴f（-x）＞0，
∵f（x）是奇函數(shù)，
∴-f（x）＞0，
∴f（x）＜0．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確運用函數(shù)的奇偶性的定義是關(guān)鍵．