Question

9．已知直線l₁：ax-y+1=0與l₂：x+ay+1=0（a∈R），給出如下結(jié)論：
①不論a為何值時，l₁與l₂都互相垂直；
②當a變化時，l₁與l₂分別經(jīng)過定點A（0，1）和B（-1，0）；
③不論a為何值時，l₁與l₂都關于直線x+y=0對稱；
④不存在a的值，使l₁與l₂平行或重合．
其中所有正確的結(jié)論的序號為①②④．

Answer 1

分析 ①l₁與l₂垂直時，利用兩直線垂直的充要條件可判斷；
②對于直線l₁與l₂分別令x=0，y=0，即可知直線恒過定點；
③在l₁上任取點（x，ax+1），關于直線x+y=0對稱的點的坐標為（-ax-1，-x），代入l₂：x+ay+1=0的左邊，可得不為0，故可判斷；
④l₁與l₂平行，得到a²+1=0，不存在a的值，使l₁與l₂平行或重合．

解答 解：①a×1-1×a=0恒成立，l₁與l₂垂直恒成立，故①正確；
②直線l₁：ax-y+1=0，當a變化時，x=0，y=1恒成立，所以l₁經(jīng)過定點A（0，1），
l₂：x+ay+1=0，當a變化時，y=0，x=-1恒成立，所以l₂經(jīng)過定點B（-1，0），故②正確；
③在l₁上任取點（x，ax+1），關于直線x+y=0對稱的點的坐標為（-ax-1，-x），
代入l₂：x+ay+1=0的左邊，顯然不為0，故③不正確；
④a²+1=0，不存在a的值，使l₁與l₂平行或重合故④正確．
故答案為：①②④

點評 本題以直線為載體，考查兩直線的位置關系，考查直線的對稱性，考查直線恒過定點，考查軌跡，綜合性，需一一判斷．