Question

已知?jiǎng)訄AM過(guò)定點(diǎn)P（0，m）（m＞0），且與定直線(xiàn)l₁：y=-m相切，動(dòng)圓圓心M的軌跡為C，直線(xiàn)l₂過(guò)點(diǎn)P交曲線(xiàn)C于A，B兩點(diǎn)．
（1）求曲線(xiàn)C的方程．（2）若l₂交x軸于點(diǎn)S，且，求l₂的方程．（3）若l₂的傾斜角為30°，在l₁上是否存在點(diǎn)E使△ABE為正三角形？若能，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不能，說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）依題意，曲線(xiàn)C是以點(diǎn)P為焦點(diǎn)，直線(xiàn)l₁為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，
所以曲線(xiàn)C的方程為x²=4my
（2）由題意知k存在且k≠0
設(shè)l₂方程為y=kx+m，代入x²=4my由消去y得x²-4mkx-4m²=0
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則x₁+x₂=4mk，x₁x₂=-4m²=
所以，l₂方程為
（3）由（Ⅰ）知l₂方程為代入x²=4my，消去y得：，
假設(shè)存在點(diǎn)E（x₀，-m），使△ABE為正三角形，則|BE|=|AB|=|AE|
由|BE|=|AE|
即，
化簡(jiǎn)得
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/122060.png' />，則
因此，直線(xiàn)l上不存在點(diǎn)E，使得△ABE是正三角形．
分析：（1）依題意，曲線(xiàn)C是以點(diǎn)P為焦點(diǎn)，直線(xiàn)l₁為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，由此可知曲線(xiàn)C的方程．
（2）由題意知k存在且k≠0，設(shè)l₂方程為y=kx+m，代入x²=4my由消去y得x²-4mkx-4m²=0
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則x₁+x₂=4mk，x₁x₂=-4m²，由題設(shè)條件知，l₂方程為．
（3）由題設(shè)知l₂方程為代入x²=4my，消去y得：，，假設(shè)存在點(diǎn)E（x₀，-m），使△ABE為正三角形，則|BE|=|AB|=|AE|，由此導(dǎo)出，所以直線(xiàn)l上不存在點(diǎn)E，使得△ABE是正三角形．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系，難度較大，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意公式的靈活運(yùn)用，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．