Question

17．已知方程x²+x+k=0有兩虛根α、β，且|α一β|=$\sqrt{3}$．求：
（1）實數(shù)k的值；
（2）α、β在復平面上對應的兩個向量之間的夾角．

Answer 1

分析 （1）先將兩個虛根設出，然后分別利用韋達定理和滿足的條件即可求的實部和虛部的值進而獲得方程的兩虛根，再由韋達定理即可求的k的值；
（2）根據(jù)向量的夾角公式代入求出即可．

解答 解：（1）設α=x+yi（x，y∈R），則β=x-yi；△=1-4k＜0
∴k＞$\frac{1}{4}$；α+β=2x=-1，∴x=-$\frac{1}{2}$；|α-β|=2|y|=$\sqrt{3}$，∴y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$或-$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
所以兩根分別為-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i，-$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$i，
又αβ=k
∴k=（-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i）（-$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$i）=1，
（2）設α對應的向量為$\overrightarrow{a}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
β對應的向量為$\overrightarrow$=（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}•\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}}$=-$\frac{1}{2}$，
∴夾角是120°．

點評 本題考查復數(shù)方程的解法，解答中充分體現(xiàn)了方程虛根的求法，韋達定理的應用．值得同學們體會反思．