Question

【題目】點(diǎn)是拋物線：的焦點(diǎn)，動(dòng)直線過(guò)點(diǎn)且與拋物線相交于，兩點(diǎn).當(dāng)直線變化時(shí)，的最小值為4.

（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)點(diǎn)，分別作拋物線的切線，，與相交于點(diǎn)，，與軸分別交于點(diǎn)，，求證：與的面積之比為定值（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

Answer 1

【答案】（1）（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）證明直線的斜率為時(shí)不合題意，當(dāng)直線的斜率不為時(shí)，設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，消元，用根與系數(shù)的關(guān)系得出兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系，利用焦點(diǎn)弦長(zhǎng)計(jì)算公式求，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得出的值，進(jìn)而得出拋物線的方程；

（2）用兩點(diǎn)的坐標(biāo)表示直線，的方程，再求點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式求比值，即可得出結(jié)論.

（1）設(shè)，由已知得當(dāng)直線的斜率為時(shí)，與有且只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)不合題意

設(shè)直線的方程為

聯(lián)立直線與拋物線的方程，并消去，得，則

顯然當(dāng)時(shí)，取得最小值，則

故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）證明：不妨設(shè)

易得切線，將代入，整理得

進(jìn)而可知

同理可得

聯(lián)立，消去，整理得到

即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

故

故與的面積之比為定值