Question

已知A（1，

sinα

sin(α+2β)

），B（

sinα

sin(α-2β)

-2，1），且

OA

•

OB

=0，sinβ≠0，sinα-kcosβ=0，則k=（　�。�

• A、

  2

• B、-

  2

• C、

  2

  或-

  2

• D、以上都不對(duì)

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,平面向量及應(yīng)用

分析：運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式，以及兩角和差的正弦公式和二倍角公式，化簡(jiǎn)即可得到所求值．

解答： 解：A（1，

sinα

sin(α+2β)

），B（

sinα

sin(α-2β)

-2，1），且

OA

•

OB

=0，
則

sinα

sin(α-2β)

-2+

sinα

sin(α+2β)

=0，
即有

sinα(sin(α-2β)+sin(α+2β))

sin(α-2β)sin(α+2β)

=2，
即sinα（sinαcos2β-cosαsin2β+sinαcos2β+cosαsin2β）
=2（sinαcos2β-cosαsin2β）（sinαcos2β+cosαsin2β），
則有2sin²αcos2β=2（sin²α-sin²2β），
即有sin²α（1-cos2β）=sin²2β，
則有2sin²αsin²β=4sin²βcos²β，
由于sinβ≠0，則sinα=±

2

cosβ，
則k=±

2

．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，考查兩角和差的正弦公式和二倍角公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算化簡(jiǎn)能力，屬于中檔題．