Question

13．曲線y=$\frac{sinx}{x}$在點M（π，0）處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形區(qū)域為D（不含三角形邊界）．若點P（x，y）是區(qū)域D內(nèi)的任意一點，則x+4y的取值范圍為（0，4）．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的切線方程，作出對應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識進(jìn)行求解即可得到結(jié)論．

解答 解：∵y=f（x）=$\frac{sinx}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{xcosx-sinx}{{x}^{2}}$，
在點M（π，0）處的切線斜率f′（π）=-$\frac{1}{π}$，
則對應(yīng)的切線方程為y=-$\frac{1}{π}$（x-π）=-$\frac{1}{π}$x+1，
則對應(yīng)的三角形區(qū)域為陰影部分（不含邊界）．
設(shè)z=x+4y，平移直線x+4y=0，
由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過點A（0，1）時，
直線z=x+4y的截距最大，此時z最大，
為z=4，
當(dāng)直線經(jīng)過點O（0，0）時，
直線z=x+4y的截距最小，此時z最小，
且為z=0．
則x+4y的取值范圍為（0，4）．
故答案為：（0，4）．

點評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，以及線性規(guī)劃的有關(guān)知識，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．