Question

【題目】已知點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，線段的垂直平分線分別與，交于，兩點(diǎn).

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）過點(diǎn)的動(dòng)直線與點(diǎn)的軌跡交于，兩點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)，使以為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）本問考查曲線軌跡方程的求法，畫出圖形分析，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可知，再根據(jù)，于是得到所以點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，可以求出軌跡方程；（2）首先考慮當(dāng)直線斜率存在時(shí)，方程可設(shè)為，設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓方程，消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程后，列出，假設(shè)在軸上是否存在定點(diǎn)，使以為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn)，則即于是經(jīng)計(jì)算可以求出m的值，再檢驗(yàn)當(dāng)斜率不存在時(shí)也符合上面求出的值.

試題解析：(I)由題意得

點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓

點(diǎn)的軌跡的方程為

(II)直線的方程可設(shè)為，設(shè)

聯(lián)立可得

由求根公式化簡(jiǎn)整理得

假設(shè)在軸上是否存在定點(diǎn)，使以為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn)，則

即

求得

因此，在軸上存在定點(diǎn)，使以為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn).