Question

【題目】設(shè)函數(shù).

(1)若曲線與在它們的交點(diǎn)處有相同的切線,求實數(shù)a,b的值;

(2)當(dāng)時,若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有兩個零點(diǎn),求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1).(2)

【解析】

(1) 由曲線與在它們的交點(diǎn)處有相同的切線，可得,且，可得a，b的值.

(2) 當(dāng)時,可得,可得，令,解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為,故在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減，由在區(qū)間內(nèi)恰有兩個零點(diǎn)，列出關(guān)于a的不等式，可得a的取值范圍.

解:(1)因為

所以,

因為曲線與在它們的交點(diǎn)處有相同的切線,

所以,且,即,且,

解得.

(2)當(dāng)時,,

所以

令,解得.

當(dāng)x變化時,,的變化情況如下表:

x				a
	+	0	-	0	+
		極大值		極小值

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為,

故在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減.

又函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有兩個零點(diǎn),所以有

,即

解得,所以實數(shù)a的取值范圍是.