Question

15．不超過實數(shù)x的最大整數(shù)稱為x的整數(shù)部分，記作[x]．已知f（x）=cos（[x]-x），給出下列結(jié)論：
①f（x）是偶函數(shù)；
②f（x）是周期函數(shù)，且最小值周期為π；
③f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[k，k+1）（k∈Z）；
④f（x）的值域為[cos1，1）．
其中正確的個數(shù)為（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 通過計算特殊值驗證判斷①，②；利用符合函數(shù)的單調(diào)性判斷③，根據(jù)[x]-x的范圍和余弦函數(shù)的性質(zhì)判斷④．

解答 解：對于①，∵f（π）=cos（3-π）=cos（π-3），f（-π）=cos（-4+π）=cos（4-π），
顯然f（π）≠f（-π），∴f（x）不是偶函數(shù)，故①錯誤；
對于②，f（0）=cos（0-0）=cos0=1，而f（π）=cos（π-3）≠1，
∴f（0）≠f（π），即f（x）不是周期為π的函數(shù)，故②錯誤；
對于③，當x∈[k，k+1）時，[x]=k，
令t（x）=x-[x]，則t（x）在區(qū)間[k，k+1）單調(diào)遞增，且0≤t（x）＜1，
又y=cosx在[0，1）上單調(diào)遞減，
∴f（x）=cos（[x]-x）=cos（x-[x]）在[k，k+1）單調(diào)遞減，故③正確；
對于④，∵-1＜[x]-x≤0，∴f（x）取不到值cos1，且f（x）的最大值為1．
故④錯誤．
故選：B．

點評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查函數(shù)的圖象，是中檔題．