Question

13．函數(shù)f（x）的定義域為D，對給定的正數(shù)k，若存在閉區(qū)間[a，b]⊆D，使得函數(shù)f（x）滿足：①f（x）在[a，b]內是單調函數(shù)；②f（x）在[a，b]上的值域為[ka，kb]，則稱區(qū)間[a，b]為y=f（x）的k級“理想區(qū)間”．下列結論錯誤的是（　�。�

• A． 函數(shù)f（x）=-x²（x∈R）存在1級“理想區(qū)間”
• B． 函數(shù)f（x）=e^x（x∈R）不存在2級“理想區(qū)間”
• C． 函數(shù)f（x）=$\frac{4x}{{x}^{2}+1}$（x≥0）存在3級“理想區(qū)間”
• D． 函數(shù)f（x）=loga（a^x-$\frac{1}{4}$）（a＞0，a≠1）不存在4級“理想區(qū)間”

Answer 1

分析 A、B、C中，可以找出定義域中的“理想區(qū)間”，從而作出正確的選擇．D中，假設存在“理想區(qū)間”[a，b]，會得出錯誤的結論．

解答 解：A中，當x≥0時，f（x）=-x²在[0，1]上是單調減函數(shù)，且f（x）在[0，1]上的值域是[0，1]，∴存在1級“理想區(qū)間”，原命題正確；
B中，當x∈R時，f（x）=e^x在[a，b]上是單調增函數(shù)，且f（x）在[a，b]上的值域是[e^a，e^b，]，∴不存在2級“理想區(qū)間”，原命題正確；
C中，因為f（x）=$\frac{4x}{{x}^{2}+1}$=$\frac{4}{x+\frac{1}{x}}$在（0，1）上為增函數(shù)．假設存在[a，b]?（0，1），使得f（x）∈[3a，3b]則有$\left\{\begin{array}{l}f（a）=3a\\ f（b）=3b\end{array}\right.$，所以命題正確；
D中，若函數(shù)（a＞0，a≠1）．不妨設a＞1，則函數(shù)在定義域內為單調增函數(shù)，
若存在“4級理想區(qū)間”[m，n]，
則由，得即m，n是方程loga（a^x-$\frac{1}{4}$）=4x的兩個根，
即m，n是方程a^4x-a^x+$\frac{1}{4}$=0的兩個根，
由于該方程有兩個不等的正根，故存在“4級理想區(qū)間”[m，n]，∴D結論錯誤
故選：D．

點評 本題考查了新定義下的函數(shù)的性質與應用問題，解題時應理解新定義中的題意與要求，轉化為解題的條件與結論，是易錯題．