Question

3．設(shè)函數(shù)f′（x）是奇函數(shù)f（x）（x∈R）的導(dǎo)函數(shù)，f（-1）=0，當(dāng)x＞0時，xf′（x）-f（x）＜0，則使得f（x）＞0成立的x的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-1）∪（0，1）
• B． （-1，0）∪（1，+∞）
• C． （-∞，-1）∪（-1，0）
• D． （0，1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 由已知當(dāng)x＞0時總有xf′（x）-f（x）＜0成立，可判斷函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$為減函數(shù)，由已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，可證明g（x）為（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數(shù)，根據(jù)函數(shù)g（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性和奇偶性，模擬g（x）的圖象，而不等式f（x）＞0等價于x•g（x）＞0，數(shù)形結(jié)合解不等式組即可．

解答 解：設(shè)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，則g（x）的導(dǎo)數(shù)為：g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
∵當(dāng)x＞0時總有xf′（x）＜f（x）成立，
即當(dāng)x＞0時，g′（x）恒小于0，
∴當(dāng)x＞0時，函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$為減函數(shù)，
又∵g（-x）=$\frac{f（-x）}{-x}$=$\frac{-f（x）}{-x}$=$\frac{f（x）}{x}$=g（x），
∴函數(shù)g（x）為定義域上的偶函數(shù)
又∵g（-1）=$\frac{f（-1）}{-1}$=0，
∴函數(shù)g（x）的圖象性質(zhì)類似如圖：
數(shù)形結(jié)合可得，不等式f（x）＞0?x•g（x）＞0
?$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{g（x）＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{g（x）＜0}\end{array}\right.$，
?0＜x＜1或x＜-1．
故選：A．

點評 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并由函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式，屬于綜合題．