Question

【題目】已知函數(shù)（）．

（1）若曲線在點處的切線與直線垂直，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若對于任意，都有成立，試求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是． （2）.

【解析】

（1）對求導(dǎo)，由曲線在點處的切線與直線垂直，可得，可得值，代入可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）對求導(dǎo)，可得其遞增遞減區(qū)間，可得其極小值點，函數(shù)取得最小值，由對于任意,成立，只需最小值大于，可得a的取值范圍.

解：（1）直線的斜率為1，函數(shù)的定義域為．

因為，

所以，所以，

所以，．

由解得；由解得．

所以的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是．

（2）

由解得；由解得．

所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

所以當時，函數(shù)取得最小值．

因為對于任意都有成立，

只需即可．

則，

即，解得，

所以a的取值范圍是．