Question

【題目】設(shè)，。

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為。(2)見解析；(3)

【解析】

（1）直接對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)大于0，解得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，解得減區(qū)間；

（2）先判斷是f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由f(x)=0得，，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得的大致圖像，分析y=a與交點(diǎn)的個(gè)數(shù)可得到函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

（3）不等式恒成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，通過變形構(gòu)造出函數(shù)h(x)=f(x)-ag(x)，通過研究該函數(shù)的單調(diào)性與極值，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為該函數(shù)的最小值大于等于0恒成立，求得a即可.

（1），

當(dāng)時(shí)，，遞增，當(dāng)時(shí)，，g(x)遞減,

故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

（2）是f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由f(x)=0得，，

，

當(dāng)時(shí)，遞減且，

當(dāng)時(shí)，，且時(shí)，遞減，

時(shí)，遞增，故，,

大致圖像如圖，

∴當(dāng)時(shí)，f(x)有1個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)a=e或時(shí)，f(x)有2個(gè)零點(diǎn)；；

當(dāng)時(shí)， 有3個(gè)零點(diǎn).

（3）h(x)=f(x)-ag(x)=x，

,

設(shè)的根為，即有

，可得，時(shí)，，遞減，

當(dāng)時(shí)，，遞增，

，

∴