Question

13．設(shè)點(diǎn)A，B分別是x，y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AB=1．若$\overrightarrow{AC}$=λ$\overrightarrow{BA}$（λ＞0）．
（Ⅰ）求點(diǎn)C的軌跡Г；
（Ⅱ）過點(diǎn)D作軌跡Г的兩條切線，切點(diǎn)分別為P，Q，過點(diǎn)D作直線m交軌跡Г于不同的兩點(diǎn)E，F(xiàn)，交PQ于點(diǎn)K，問是否存在實(shí)數(shù)t，使得$\frac{1}{|DE|}$+$\frac{1}{|DF|}$=$\frac{t}{|DK|}$恒成立，并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知，C在線段BA的延長(zhǎng)線上，設(shè)出A（m，0），B（0，n），可得m²+n²=1，再設(shè)C（x，y），由向量等式把m，n用含有x，y的代數(shù)式表示，代入m²+n²=1可得點(diǎn)C的軌跡Г；
（Ⅱ）分別設(shè)出E，F(xiàn)，K的橫坐標(biāo)分別為：x_E，x_F，x_K，點(diǎn)D（s，t），可得直線PQ的方程為：$\frac{s}{（λ+1）^{2}}x+\frac{t}{{λ}^{2}}y=1$，再設(shè)直線m的方程：y=kx+b，得到t=ks+b，進(jìn)一步求得x_K，聯(lián)立直線方程與橢圓m的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到x_E+x_F，x_Ex_F，求得$\frac{|DK|}{|DE|}+\frac{|DK|}{|DF|}$為定值2得答案．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知，C在線段BA的延長(zhǎng)線上，
設(shè)A（m，0），B（0，n），則m²+n²=1，
再設(shè)C（x，y），
由$\overrightarrow{AC}$=λ$\overrightarrow{BA}$（λ＞0），得（x-m，y）=λ（m，-n），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-m=λm}\\{y=-λn}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{x}{1+λ}}\\{n=-\frac{y}{λ}}\end{array}\right.$，
代入m²+n²=1，得$\frac{{x}^{2}}{（1+λ）^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{λ}^{2}}=1$；
（Ⅱ）設(shè)E，F(xiàn)，K的橫坐標(biāo)分別為：x_E，x_F，x_K，
設(shè)點(diǎn)D（s，t），則直線PQ的方程為：$\frac{s}{（λ+1）^{2}}x+\frac{t}{{λ}^{2}}y=1$，
設(shè)直線m的方程：y=kx+b，
∴t=ks+b，
得${x}_{K}=\frac{1-\frac{t}{{λ}^{2}}b}{\frac{s}{（λ+1）^{2}}+\frac{t}{{λ}^{2}}k}$，
將直線m代入橢圓方程得：$（\frac{{k}^{2}}{{λ}^{2}}+\frac{1}{（λ+1）^{2}}）{x}^{2}+\frac{2kb}{{λ}^{2}}x+\frac{^{2}}{{λ}^{2}}-1=0$，
∴${x}_{E}+{x}_{F}=\frac{-2kb}{\frac{{λ}^{2}}{（λ+1）^{2}}+{k}^{2}}，{x}_{E}{x}_{F}$=$\frac{^{2}-{λ}^{2}}{\frac{{λ}^{2}}{（λ+1）^{2}}+{k}^{2}}$．
∴$\frac{|DK|}{|DE|}+\frac{|DK|}{|DF|}=\frac{|{x}_{D}-{x}_{K}|}{|{x}_{D}-{x}_{E}|}+\frac{|{x}_{D}-{x}_{K}|}{|{x}_{D}-{x}_{F}|}$=$|s-\frac{1-\frac{t}{{λ}^{2}}b}{\frac{s}{（λ+1）^{2}}+\frac{t}{{λ}^{2}}k}|$•$\frac{|2{x}_{D}-（{x}_{E}+{x}_{F}）|}{{|{x}_{D}}^{2}-{x}_{D}（{x}_{E}+{x}_{F}）+{x}_{E}{x}_{F}|}$=2．
驗(yàn)經(jīng)證當(dāng)m的斜率不存在時(shí)成立，
故存在實(shí)數(shù)t=2，使得$\frac{1}{|DE|}$+$\frac{1}{|DF|}$=$\frac{t}{|DK|}$恒成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查計(jì)算能力，是壓軸題．