Question

12．已知直線(xiàn)x-y+3=0與圓O：x²+y²=r²（r＞0）相交于M，N兩點(diǎn)，若$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=3$，則圓的半徑r=$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 本題可以利用方程組得到交點(diǎn)間的坐標(biāo)關(guān)系，然后將向量條件坐標(biāo)化，得到關(guān)于半徑的方程，求出半徑的值．

解答 解：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由直線(xiàn)x-y+3=0與圓O：x²+y²=r²（r＞0）聯(lián)立，
得：2x²+6x+9-r²=0，
∴x₁+x₂=-3，x₁x₂=$\frac{1}{2}$（9-r²）．
∴y₁y₂=$\frac{1}{2}$（9-r²）．
∵$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=3$，∴$\frac{1}{2}$（9-r²）+$\frac{1}{2}$（9-r²）=3，
∴r=$\sqrt{6}$．
故答案為：$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)方程思想和向量積的坐標(biāo)運(yùn)算，計(jì)算有一定難度，屬于中檔題．