Question

17．過(guò)拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F且傾斜角為α的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若S_△ADF=4S_△BOF，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則sinα=（　�。�

• A． $\frac{3}{5}$
• B． $\frac{4}{5}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)S_△AOF=4S_△BOF，得|AF|=4|BF|，$\overrightarrow{AF}=4\overrightarrow{FB}$，求得-y₁=4y₂，設(shè)出直線AB的方程，與拋物線方程聯(lián)立消去x，利用韋達(dá)定理求出斜率，即可求出sinα．

解答 解：根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由S_△AOF=4S_△BOF，得|AF|=4|BF|，$\overrightarrow{AF}=4\overrightarrow{FB}$，得$（{\frac{p}{2}-{x_1}，-{y_1}}）=4（{{x_2}-\frac{p}{2}，{y_2}}）$，
故-y₁=4y₂，即$\frac{y_1}{y_2}=-4$．
設(shè)直線AB的方程為$y=k（{x-\frac{p}{2}}）$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=k（{x-\frac{p}{2}}）\\{y^2}=2px\end{array}\right.$消元得ky²-2py-kp²=0．
故${y_1}+{y_2}=\frac{2p}{k}$，${y_1}{y_2}=-{p^2}$．則$\frac{{{{（{{y_1}+{y_2}}）}^2}}}{{{y_1}{y_2}}}=\frac{y_1}{y_2}+\frac{y_2}{y_1}+2=-4-\frac{1}{4}+2=-\frac{9}{4}$，
即$\frac{{{{（{\frac{2p}{k}}）}^2}}}{{-{p^2}}}=-\frac{9}{4}$，得$-\frac{4}{k^2}=-\frac{9}{4}$，解得$k=±\frac{4}{3}$．
所以$tanα=±\frac{4}{3}$．所以$sinα=\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了拋物線的概念和性質(zhì)，直線和拋物線的綜合問(wèn)題，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．