Question

【題目】某農(nóng)場有一塊等腰直角三角形的空地，其中斜邊的長度為400米.為迎接“五一”觀光游，欲在邊界上選擇一點(diǎn)，修建觀賞小徑，其中分別在邊界上，小徑與邊界的夾角都為.區(qū)域和區(qū)域內(nèi)種植郁金香，區(qū)域內(nèi)種植月季花.

（1）探究：觀賞小徑與的長度之和是否為定值？請說明理由；

（2）為深度體驗(yàn)觀賞，準(zhǔn)備在月季花區(qū)域內(nèi)修建小徑，當(dāng)點(diǎn)在何處時(shí)，三條小徑的長度和最小？

Answer 1

【答案】（1）為定值，理由見解析；（2）是的中點(diǎn).

【解析】

（1）根據(jù)題意可得，結(jié)合正弦定理可分別用表示出與，即可確定是否為定值；

（2）在中，由余弦定理可表示出，結(jié)合基本不等式即可得，根據(jù)（1）中為定值，即可知不等式取等號的條件，進(jìn)而確定點(diǎn)的位置及三條小徑的長度和.

（1）為等腰直角三角形，小徑與邊界的夾角都為，

在中，所以，

故由正弦定理可得，

即.

同理.

故

為定值.

（2）在中，由余弦定理可得，

即，

所以，.

又由（1）有，

故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，

故當(dāng)點(diǎn)的中點(diǎn)位置時(shí)，三條小徑的長度和最小為.