Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)與在處有相同的切線(xiàn)，求的值；

（2）若函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)，求的取值范圍.

（3）若，恒有成立，求實(shí)數(shù)的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）2.

【解析】試題分析：（1）分別求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線(xiàn)斜率，再根據(jù)解出，n的值；（2）即導(dǎo)函數(shù)變號(hào)，求出導(dǎo)函數(shù)得在內(nèi)有至少一個(gè)實(shí)根且變號(hào)，結(jié)合二次函數(shù)圖像可得判別式大于零，即，最后根據(jù)基本不等式求最值（3）先根據(jù)絕對(duì)值定義去掉絕對(duì)值，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，，轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，再利用參變分離法將其轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值問(wèn)題，最后根據(jù)導(dǎo)數(shù)求對(duì)應(yīng)函數(shù)最值得實(shí)數(shù)的取值范圍，進(jìn)而得最大值.

試題解析：（1）函數(shù)在處的切線(xiàn)方程為 ，

由得，由得；

（2），

因?yàn)?/span>在定義域內(nèi)不單調(diào)，所以在內(nèi)有至少一個(gè)實(shí)根且曲線(xiàn)與不相切，

因?yàn)?/span>，于是，

所以知，所以，

（3）當(dāng)時(shí)，由得，當(dāng)時(shí)；

當(dāng)時(shí)，，

令，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立，

而，當(dāng)時(shí)，函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，最小值為，

為使恒成立，注意到，所以，即，

同理，當(dāng)時(shí)，，

綜上，當(dāng)，即的最大值為2.