Question

已知函數(shù)f（x）=a^x（a＞0，a≠1），且f（-2）=

1

4

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=log₂[m-f²（x）+4f（x）]若此函數(shù)在[0，2]上存在零點，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）若

1

3

≤k＜1，函數(shù)f₁（x）=|f（x）-1|-k的零點分別為x₁，x₂（x₁＜x₂），函數(shù)f₂（x）=|f（x）-1|-

k

2k+1

的零點分別為x₃，x₄（x₃＜x₄），求x₁-x₂+x₃-x₄的最大值．

Answer 1

考點：指數(shù)函數(shù)綜合題,對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用待定系數(shù)法即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=log₂[m-f²（x）+4f（x）]若此函數(shù)在[0，2]上存在零點，則等價為m-f²（x）+4f（x）=1在[0，2]上成立，利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到結(jié)論求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）根據(jù)零點存在條件，結(jié)合指數(shù)冪的運(yùn)算法則，建立條件關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（-2）=

1

4

．
∴f（-2）=a^-2=

1

4

．
解得a=2，即函數(shù)f（x）的解析式f（x）=2^x；
（Ⅱ）若g（x）=log₂[m-f²（x）+4f（x）]在[0，2]上存在零點，
即等價為m-f²（x）+4f（x）=1在[0，2]上成立，
則m=f²（x）-4f（x）+1=（2^x）²-4×2^x+1，
設(shè)t=f（x）=2^x；則1≤t≤4，
則y=t²-4t+1=（t-2）²-3，
∵1≤t≤4，
∴-3≤t≤1，
即-3≤m≤1，則實數(shù)m的取值范圍[-3，1]．
（Ⅲ）由f₁（x）=|f（x）-1|-k=0得|f（x）-1|=k，即f（x）=1-k，或f（x）=1+k，
則2x1=1-k，=2x2=1+k，
由f₂（x）=|f（x）-1|-

k

2k+1

=0得|f（x）-1|=

k

2k+1

，
即f（x）=1+

k

2k+1

或f（x）=1-

k

2k+1

，
則2x3=1-

k

2k+1

=

k+1

2k+1

或2x4=1+

k

2k+1

=

3k+1

2k+1

，
則2x2-x1=

1+k

1-k

，2x4-x3=

3k+1

k+1

，
即2x2-x1+x4-x3=

3k+1

1-k

=-3+

4

1-k

，
∵

1

3

≤k＜1，∴-3+

4

1-k

≥3，
則2x2-x1+x4-x3=

3k+1

1-k

=-3+

4

1-k

≥3，
即x₂-x₁+x₄-x₃≥log₂3，
則x₁-x₂+x₃-x₄=-（x₂-x₁+x₄-x₃）≤-log₂3，
故x₁-x₂+x₃-x₄的最大值是-log₂3，

點評：本題主要考查指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查函數(shù)零點的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，難度較大．