Question

3．已知f（x）=$\frac{1{0}^{x}-1{0}^{-x}}{1{0}^{x}+1{0}^{-x}}$+a（a∈R）是奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）證明：f（x）是定義域內(nèi)的增函數(shù)；
（3）存在x₀∈R，使得f（x₀）-λ=0成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由f（0）=0，即可求a的值；
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明：f（x）是定義域內(nèi)的增函數(shù)；
（3）求出函數(shù)的值域，即可求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

解答 （1）解：由f（0）=0，可得0+a=0，∴a=0；
（2）證明：f（x）=$\frac{1{0}^{x}-1{0}^{-x}}{1{0}^{x}+1{0}^{-x}}$=$\frac{1{0}^{2x}-1}{1{0}^{2x}+1}$
設(shè)x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2（1{0}^{2{x}_{1}}-1{0}^{2{x}_{2}}）}{（1{0}^{2{x}_{1}}+1）（1{0}^{2{x}_{2}}+1）}$，
因?yàn)閤₁＜x₂，所以$1{0}^{2{x}_{1}}$＜$1{0}^{2{x}_{2}}$，所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）為增函數(shù)；
（3）解：f（x）=$\frac{1{0}^{x}-1{0}^{-x}}{1{0}^{x}+1{0}^{-x}}$=$\frac{1{0}^{2x}-1}{1{0}^{2x}+1}$=1-$\frac{2}{1{0}^{2x}+1}$∈（-1，1），
因?yàn)榇嬖趚₀∈R，使得f（x₀）-λ=0成立，
所以λ∈（-1，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，考查函數(shù)的值域，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．