Question

【題目】設(shè)函數(shù)，.

（1）討論在上的單調(diào)性；

（2）當時，若存在正實數(shù)，使得對，都有，求的取值范圍..

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）求得，然后分和兩種情況討論，分析導(dǎo)數(shù)在區(qū)間上的符號變化，即可得出函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)區(qū)間；

（2）由（1）可知，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，使得對任意，都有，構(gòu)造函數(shù)，分和兩種情況討論，分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合在區(qū)間上恒成立可求得實數(shù)的取值范圍.

（1）由，得，，，

當時，由，得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，

由，得，即函數(shù)在上單調(diào)遞減；

當時，在上恒成立，即函數(shù)在上單調(diào)遞增.

綜上所述，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

（2），當時，由（1）結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性知，

，使得對任意，都有，則由得.

設(shè)，則，

由得，由得.

（Ⅰ）若，則，故，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，

，對任意，都有，不合題意；

（Ⅱ）若，則，故，

在上單調(diào)遞增，

，對任意，都有，符合題意，

此時取，可使得對，都有.

綜上可得的取值范圍是.