Question

7．已知A（-2，0），B（2，0），且△ABC的周長(zhǎng)為12，求點(diǎn)C的軌跡方程．

Answer 1

分析 由△ABC的周長(zhǎng)及AB的長(zhǎng)，得|CA|+|CB|，由圓錐曲線的定義可判斷軌跡的形狀，即可得其方程．

解答 解：由題意知，|CA|+|CB|=12-|AB|=8＞|AB|，
故動(dòng)點(diǎn)C在橢圓上，
當(dāng)C與A，B共線時(shí)，A，B，C三點(diǎn)不能圍成三角形，
故軌跡E不含x軸上的兩點(diǎn)，
由于定點(diǎn)A，B在x軸上，
可設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
則2a=8，焦距2c=4，從而b²=a²-c²=12，
即得C的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1（y≠0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程的求法，注意運(yùn)用橢圓的定義，以及方程的等價(jià)性，屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題．